Istilah, Simbol, Sifat Operasi Dasar, Simbol Pengelompokan Dan Urutan Operasi Dalam Matematika

Pada Materi kali ini mari kita belajar tentang dasar matematika 

Daftar Isi

1. Kelompok-Kelompok Bilangan
2. Cara-Cara Menulis Perkalian dan Pembagian
3. Mengali dan Membagi dengan Nol
4. Simbol-Simbol Umum Matematika
5. Sifat - Sifat Operasi Dasar Matematika
6. Simbol Pengelompokan dan Urutan Operasi
7. Urutan Operasi

Kelompok-Kelompok Bilangan

Dalam mengerjakan soal-soal matematika dasar, kamu jugak akan bekerja dengan beragam kelompok bilangan. Lebih banyak kamu mengetahui kelompok-kelompok bilangan ini, lebih mudah kamu memahami dan mengerjakannya.

Bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, …

Bilangan cacah : 0, 1, 2, 3, …

Bilangan ganjil  : Bilangan cacah yang tidak bisa dibagi 2 yaitu 1, 3, 5, 7, …

Bilangan genap : Bilangan cacah yang bisa dibagi 2 yaitu 0, 2, 4, 6, 8, …

Bilangan bulat  : …, -2, -1, 0, 1, 2, …

Bilangan bulat negatif : …, -3, -2, -1

Bilangan bulat positif : Bilangan asli

Bilangan rasional  : Pecahan seperti  atau  . Semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional; sebagai contoh, bilangan 5 bisa ditulis sebagai  . Semua bilangan rasional bisa ditulis sebagai pecahan  , dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli. Bilangan desimal yang  berakhir (seperti 0,5) dan bilangan desimal berulang (seperti 0,333…) juga merupakan bilangan rasional karena bisa ditulis dalam bentuk pecahan.

Bilangan irasional : Bilangan-bilangan yang tidak bisa ditulis sebagai pecahan , dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli.  dan  (huruf yunani phi) merupakan contoh-contoh bilangan irasional.

 

Cara-Cara Menulis Perkalian dan Pembagian

Beberapa operasi bisa ditulis dalam beragam bentuk. Kamu harus memahami beragam bentuk yang ada.

Ada beberapa cara menulis perkalian.

•  Tanda kali : 4 x 3 = 12
• Titik kali : 4 . 3 = 12
• Dua pasang tanda kurung : (4)(3)  = 12
• Satu pasang tanfa kurung : 4(3) = 12 atau 3(4) = 12
• Sebuah bilangan diikuti sebuah perubah (huruf) : 3a berarti 3 di kali a
• Dua peubah (huruf) yang saling berdekatan : ab berarti a dikali b

Ada beberapa cara menulis pembagian.

• Tanda bagi : 10 : 2 = 5
• Garis bagi :  atau 10/2 = 5

 

Mengali dan Membagi dengan Nol

Nol kali semua bilangan hasilnya juga nol.

                       0 X 2  = 0

                       8 X 2 X 3 X 6 X 0 = 0

Demikian juga jika nol dibagi semua bilangan, hasilnya juga nol

                       07 : 3 = 0

                      

Catatan : Membagi dengan nol tidak terdefinisikan dan tidak diperbolehan. Sebagai contoh  tidak terdefinisikan karena tidak ada jawabannya. Jawabannya bukanlah nol.

 

Simbol-Simbol Umum Matematika

Simbol-simbol berikut ini umum digunakan dalam matematika dasar dan aljabar. Pastikan kamu memahami maksud simbol – simbol berikut ini.

= sama dengan

≠ tidak sama dengan

> lebih dari

< kurang dari

≤ kurang dari atau sama dengan

≥ lebih dari atau sama dengan

≯  tidak lebih dari

≮  tidak kurang dari

≱  tidak lebih dari atau sama dengan

≮  tidak kurang dari atau sama dengan

≈ kira – kira sama dengan

 

Sifat - Sifat Operasi Dasar Matematika

Beberapa operasi matematika mempunyai sifat-sifat yang membuatnya lebih mudah untuk dikerjakan sehingga menghemat waktumu.

Beberapa Sifat (aksioma) Penjumlahan

1.     Tertutup

Tertutup yaitu semua jawaban menjadi anggota himpunan aslunya. Jika kamu menjumlahkan dua bilangan genap, jawabannya masih berupa bilangan genap (2 + 4 = 6); maka himpunan bilangan genap tertutup dalam operasi penjumlahan. Jika kamu menjumlahkan dua bilangan ganjil, jawabannya pasti bukan berupa bilangan ganjil (3 + 5 = 8); maka himpunan bilangan ganjil tidak tertutup dalam operasi penjumlahan.

2.     Komutatif

Komutatif berarti urutan tidak memengaruhi hasil penjumlahan.

2 + 1 = 1 + 2

a + b = b + a

Sifat komutatif tidak berlaku untuk pengurangan.

3.     Asosiatif

Asosiatif berarti pengelompokan tidak mempengaruhi penjumlahan

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

(a + b) + c = a + (b + c)

Pengelompokan berubah (tanda kurung berpindah tempat), tetapi kedua sisi masih tetap bernilai sama

Sifat asosiatif tidak berlaku untuk pengurangan.

4 – (2 – 1)  (4 – 2) – 1

a – (b – c)  (a – b) – c

4.     Unsur identitas

Unsur identitas penjumlahan yaitu 0. Setiap bilangan yang dijumlahkan dengan dengan 0 akan menghasilakan bilangan itu sendiri

5 + 0 = 5

a + 0 = a

5.     Inverse penjumlahan

Inverse penjumlahan merupakan lawan (negatif) bilangan. Setiap bilangan ditambah inverse penjumlahannya, hasilnya sama dengan 0 (identitas).

3 + (-3) = 0; maka, 3 dan -3 merupakan inverse penjumlahan.

-4 + 4 = 0; maka, -4 dan 4 merupakan inverse penjumlahan.

a + (-a) = 0; maka, a dan -a merupakan inverse penjumlahan.

 

Beberapa Sifat (aksioma) perkalian

1.     Tertutup

Tertutup yaitu jika semua jawaban menjadi anggota himpunan aslinya. Jika kamu mengalikan dua bilangan genap, jawabannya masih berupa bilangan genap (2 x 4 = 8); maka, himpunan bilangan genap tertutup dalam operasi perkalian. Jika kamu mengalikan dua bilangan ganjil, jawabannya yaitu bilangan ganjil (3 x 5 = 15); maka, himpunan bilangan ganjil tertutup dalam operasi perkalian.

2.     Komutatif

Komutatif berarti urutan tidak memengaruhi hasil perkalian.

4 x 3 = 3 x 4

a x b = b x a

Sifat komutatif tidak berlaku untuk operasi pembagian

12 : 4  4 : 12

3.     Asosiatif

Asosiatif berarti pengelompokan tidak memengaruhi hasil perkalian.

(2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)

(a x b) x c = a x (b x c)

Pengelompokan telah berubah (tanda kurung berpindah tempat), tetapi kedua sisi masih sama nilainya.

Sifat asosiatif tidak berlaku untuk pembagian

(8 : 4) : 2  8 : (4: 2)

4.     Unsur Identitas

Unsur Identitas perkalian yaitu 1. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 menghasilkan bilangan itu sendiri.

5 x 1 = 5

a x 1 = a

5.     Inverse Perkalian

Inverse Perkalian merupakan kebalikan bilangan itu. Setiap bilangan yang dikalikan dengan kebalikannya hasilnya sama dengan 1.

 ; maka, 2 dan  merupakan inverse perkalian, atau kebalikan.

 ; mala, a dan  merupakan inverse perkalian, atau kebalikan (ini berlaku a  0)

 

Sifat Dua Operasi

 

Sifat distributif yaitu proses penyebaran bilangan di luar tanda kurung ke dalam biilangan yang ada di dalam tanda kurung

2(3 + 4)  = 2(3) + 2(4)

a(b + c) = a(b) + a(c)

Sifat distributif tidak bisa digunakan hanya dengan satu operasi

3(4 x 5 x 6)  3(4) x 3(5) x 3(6)

a(bcd) a(b) x a(c) x a(d) atau (ab) x (ac) x (ad)

 

Simbol Pengelompokan dan Urutan Operasi

Ada tiga jenis simbol pengelompokan yang bisa digunakan, yaitu kurung biasa ( ), kurung persegi [ ], dan kurung kurawal { }. Ketiga jenis tanda kurung unu digunakan untuk mengelompokkan bilangan atau peubah (huruf). Simbol pengelompokan yang paling sering digunakan yaitu kurung biasa. Semua operasi di dalam kurung biasa harus dikerjakan sebelum operasi yang lain.

Contoh 1:

Sederhanakan 4( 3 + 5)

4(3 + 5)          = 4(8)

                       = 32

Contoh 2:

Sederhanakan (2 + 5)(3 + 4)

(2 + 5)(3 + 4)  = (7)(7)

                       = 49

 

Kurung persegi dan kurung kurawal jarang digunakan dan harus digunakan setelah kurung biasa.  Urutan penggunaan simbol pengelompokan adalah kurung biasa, kurung persegi, kurun kurawal: { [ ( ) ] }. Kadang, selain menggunakan kurung persegi atau kurung kurawal, kamu  juga bisa menggunakan kurung biasa yang diulang.

Contoh 3 :

Sederhanakan ((2 + 3) x 4) + 1

((2 + 3 ) x 4) + 1 = ((5) x 4) + 1

                       = (20) + 1

                       = 21

 

Suatu pernyataan yang menggunakan ketiga simbol pengelompokan tersebut terlihat sebagai berikut.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

Contoh 4 :

Sederhanakan 2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

Perhatikan bahwa  kamu akan mengerjakan dari dalam ke luar.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2{1 + [4(3) + (3)]}

                                 = 2{1 + [12 + 3]}

                                 = 2{1 + [15]}

                                 = 2{16}

                                 = 32

 

Urutan Operasi

Jika perkalian, pembagian, pangkat, penambahan, kurung, dan seterusnya, dijadikan satu dalam sebuah soal, maka urutan operasinya sebagai berikut :

1. Kurung
2. Pangkat
3. Perkalian dari kiri ke kanan
4. Pembagian dari kiri ke kanan
5. Penambahan dari kiri ke kanan
6. Pengurangan dari kiri ke kanan

Cara mudah mengingat urutan operasi yaitu KUPANG LIGITAN (KUrung PANGkat kaLI baGI Tambah kuraNg)

 

Contoh 5 :

Sederhanakanlah soal-soal berikut ini.

1. 16 + 4 x 3

Pertama-tama, hitunglah perkaliannya terlebih dahulu,

16 + 4 x 3  = 16 + 12

Kemudian penambahan

16 + 12 = 28

1. 10 – 3 x 6 + 102 + (6 + 1) x 4

Pertama-tama, hitunglah bilangan yang di dalam kurung  terlebih dahulu,

10 – 3 x 6 + 102 + (6 +  1) x 4 = 10 – 3 x 6 + 102 + (7) x 4

Kemudian, hitunglah pangkatnya

102        = 10 x 10

           = 100

Maka menjadi

10 – 3 x 6 + 102 + (7) x 4 = 10 – 3 x 6 + 100 + (7) x 4

Kemudian, hitunglah perkaliannya

10 – 3 x 6 + 100 + (7) x 4 = 10 – 18 + 100 + 28

Kemudian, hitunglah penambahan dan pengurangan dari kiri ke kanan,

10 – 18 + 100 + 28  = -8 + 100 + 28

                                 = 92 + 28

                                 = 120

 

*) Dikutip dari berbagai sumber